A Matemática vem sendo construída ao longo de muitos anos. Resultados e teorias milenares se mantêm válidos e úteis e ainda assim a matemática continua a desenvolver-se permanentemente.

Registros arqueológicos mostram que a matemática sempre foi parte da atividade humana. Ela evoluiu a partir de contagens, medições, cálculos e do estudo sistemático de formas geométricas e movimentos de objetos físicos. Raciocínios mais abstratos que envolvem argumentação lógica surgiram com os matemáticos gregos aproximadamente em 300 a.C., notadamente com a obra "Os Elementos" de Euclides. A necessidade de maior rigor foi percebida e estabelecida por volta do século XIX.

A Matemática se desenvolveu principalmente na Mesopotâmia, no Egito, na Grécia, na Índia, no Oriente Médio. A partir da Renascença o desenvolvimento da Matemática intensificou-se na Europa, quando novas descobertas científicas levaram a um crescimento acelerado que dura até os dias de hoje.

Áreas e metodologia

As regras que governam as operações aritméticas são as da álgebra elementar e as propriedades mais profundas dos números inteiros são estudadas na teoria dos números. A investigação de métodos para resolver equações leva ao campo da álgebra abstrata, que, entre outras coisas, estuda anéis e corpos — estruturas que generalizam as propriedades possuídas pelos números. O conceito de vetor, importante para a física, é generalizado no espaço vetorial e estudado na álgebra linear, pertencendo aos dois ramos da estrutura e do espaço.

O ensino da geometria.

O estudo do espaço se originou com a geometria, primeiro com a geometria euclidiana e a trigonometria; mais tarde foram generalizadas nas geometrias não-euclidianas, as quais cumprem um papel central na formulação da teoria da relatividade. A teoria de Galois permitiu resolverem-se várias questões sobre construções geométricas com régua e compasso. A geometria diferencial e a geometria algébricageneralizam a geometria em diferentes direções: a geometria diferencial enfatiza o conceito de sistemas de coordenadas, equilíbrio e direção, enquanto na geometria algébrica os objetos geométricos são descritos como conjuntos de solução de equações polinomiais. A teoria dos grupos investiga o conceito de simetria de forma abstrata e fornece uma ligação entre os estudos do espaço e da estrutura. A topologiaconecta o estudo do espaço e o estudo das transformações, focando-se no conceito de continuidade.

Entender e descrever as alterações em quantidades mensuráveis é o tema comum das ciências naturais e o cálculo foi desenvolvido como a ferramenta mais útil para fazer isto. A descrição da variação de valor de uma grandeza é obtida por meio do conceito de função. O campo dasequações diferenciais fornece métodos para resolver problemas que envolvem relações entre uma grandeza e suas variações. Os números reais são usados para representar as quantidades contínuas e o estudo detalhado das suas propriedades e das propriedades de suas funções consiste na análise real, a qual foi generalizada para análise complexa, abrangendo os números complexos. A análise funcional trata de funções definidas em espaços de dimensões tipicamente infinitas, constituindo a base para a formulação da mecânica quântica, entre muitas outras coisas.

Para esclarecer e investigar os fundamentos da matemática, foram desenvolvidos os campos da teoria dos conjuntos, lógica matemática eteoria dos modelos.

Quando os computadores foram concebidos, várias questões teóricas levaram à elaboração das teorias da computabilidade, complexidade computacional, informação e informação algorítmica, as quais são investigadas na ciência da computação

 

O conjunto de Mandelbrot.

Uma teoria importante desenvolvida pelo ganhador do Prémio Nobel, John Nash, é a teoria dos jogos, que possui atualmente aplicações nos mais diversos campos, como no estudo de disputas comerciais.

Os computadores também contribuíram para o desenvolvimento da teoria do caos, que trata do fato de que muitos sistemas dinâmicos não-lineares possuem um comportamento que, na prática, é imprevisível. A teoria do caos tem relações estreitas com a geometria dos fractais, como o conjunto de Mandelbrot e de Mary, descoberto por Lorenz, conhecido pelo atrator que leva seu nome.

Um importante campo na matemática aplicada é a estatística, que permite a descrição, análise e previsão de fenômenos aleatórios e é usada em todas as ciências. A análise numérica investiga os métodos para resolver numericamente e de forma eficiente vários problemas usando computadores e levando em conta os erros de arredondamento. A matemática discreta é o nome comum para estes campos da matemática úteis na ciência computacional.

Notação, linguagem e rigor

 

O símbolo do infinito ∞ em várias formas.

A maior parte da notação matemática em uso atualmente não havia sido inventada até o século XVI.^[3] Antes disso, os matemáticos escreviam tudo em palavras, um processo trabalhoso que limitava as descobertas matemáticas. No século XVIII, Euler foi responsável por muitas das notações em uso atualmente. A notação moderna deixou a matemática muito mais fácil para os profissionais, mas os iniciantes normalmente acham isso desencorajador. Isso é extremamente compreensivo : alguns poucos símbolos contém uma grande quantidade de informação. Assim como a notação musical, a notação matemática moderna tem uma sintaxe restrita e informações que seriam difíceis de escrever de outro modo.

A língua matemática pode também ser difícil para os iniciantes. Palavras como ou e apenas têm significados muito mais precisos do que a fala do dia-a-dia. Além disso, palavras como aberto e campo têm recebido um significado matemático específico. O jargão matemático inclui termos técnicos como homeomorfismo e integral. Mas há uma razão para a notação especial e o jargão técnico : matemática requer mais precisão do que a fala do dia-a-dia. Matemáticos se referem a essa precisão da linguagem e lógica como "rigor".

Conceitos e tópicos

Quantidades

O estudo de quantidades começa com os números, primeiro os familiares números naturais, depois os inteiros, e as operações aritmética com eles, que é chamada de aritmética. As propriedades dos números inteiros são estudadas na teoria dos números, dentre eles o popular Último Teorema de Fermat. A teoria dos números também inclui dois grandes problemas que ainda não foram resolvidos: conjectura dos primos gêmeos e conjectura de Goldbach.

Conforme o sistema de números foi sendo desenvolvido, os números inteiros foram considerados como um subconjunto dos números racionais (frações). Esses, por sua vez, estão contidos dentro dos números reais, que são usados para representar quantidades contínuas. Números reais são parte dos números complexos. Esses são os primeiros passos da hierarquia dos números que segue incluindo quaterniões e octoniões.

Considerações sobre os números naturais levaram aos números transfinitos, que formalizam o conceito de contar até o infinito. Outra área de estudo é o tamanho, que levou aosnúmeros cardinais e então a outro conceito de infinito : os números Aleph, que permitem uma comparação entre o tamanho de conjuntos infinitamente largos.

Números naturais	Números inteiros	Números racionais	Números reais	Números complexos
	π
Aritmética	Constante matemática	Número ordinal	Número cardinal

Estrutura

Muitos objetos matemáticos, tais como conjuntos de números e funções matemáticas, exibem uma estrutura interna. As propriedades estruturais desses objetos são investigadas através do estudo de grupos, anéis, corpos e outros sistemas abstratos, que são eles mesmos tais objetos. Este é o campo da álgebra abstrata. Um conceito importante é a noção devetor, que se generaliza quando são estudados os espaço vetorial em álgebra linear. O estudo de vetores combina três das áreas fundamentais da matemática: quantidade, estrutura e espaço.

				(()(()()))
Álgebra abstrata	Álgebra linear	Teoria da ordem	Teoria de grafos	Teoria dos operadores

Espaço

O estudo do espaço se originou com a geometria^[4] - em particular, com a geometria euclidiana. Trigonometria combina o espaço e os números, e contém o famoso teorema de Pitágoras. O estudo moderno do espaço generaliza essas ideias para incluir geometria de dimensões maiores, geometria não-euclidiana (que tem papel central na relatividade geral) etopologia. Quantidade e espaço juntos fazem a geometria analítica, geometria diferencial, e geometria algébrica.

Topologia	Geometria	Trigonometria	Geometria diferencial	Geometria fractal

Transformações

Entender e descrever uma transformação é um tema comum na ciência natural e cálculo foi desenvolvido como uma poderosa ferramenta para investigar isso. Então as funções foram criadas, como um conceito central para descrever uma quantidade que muda com o passar do tempo. O rigoroso estudo dos números reais e funções reais são conhecidos comoanálise real, e a análise complexa a equivalente para os números complexos.

A hipótese de Riemann, uma das mais fundamentais perguntas não respondidas da matemática, é baseada na análise complexa. Análise funcional se foca no espaço das funções. Uma das muitas aplicações da análise funcional é a Mecânica quântica. Muitos problemas levaram naturalmente a relações entre a quantidade e sua taxa de mudança, e esses problemas são estudados nas equações diferenciais. Muitos fenômenos da natureza podem ser descritos pelos sistemas dinâmicos; a teoria do caos descreve com precisão os modos com que muitos sistemas exibem um padrão imprevisível, porém ainda assim determinístico.

Cálculo	Cálculo vetorial	Equações diferenciais	Sistema dinâmico	Teoria do caos

Fundações e métodos

Para clarificar as fundações da matemática, campos como a matemática lógica e a teoria dos conjuntos foram desenvolvidos, assim como a teoria das categorias que ainda está em desenvolvimento.

Matemática lógica	Teoria dos conjuntos	Teoria das categorias

Matemática aplicada

Matemática aplicada considera o uso de ferramentas abstratas de matemática para resolver problemas concretos na ciência, negócios e outras áreas. Um importante campo na matemática aplicada é a estatística, que usa a teoria das probabilidades como uma ferramenta e permite a descrição, análise e predição de fenômenos onde as chances tem um papel fundamental. Muitos estudos de experimentação, acompanhamento e observação requerem um uso de estatísticas.

Análise numérica investiga métodos computacionais para resolver eficientemente uma grande variedade de problemas matemáticos que são tipicamente muito grandes para a capacidade numérica humana; isso inclui estudos de erro de arredondamento ou outras fontes de erros na computação.

Física matemática	Mecânica dos fluidos	Análise numérica	Otimização
Teoria das probabilidades	Estatística	Matemática financeira	Teoria dos jogos

Matemáticos notáveis

al-Khwarizmi	d’Alembert	Boole	Cantor	Cauchy	Dedekind	Descartes	Euclides	Euler	Fermat
Galois	Gauss	Grassmann	Hilbert	Jacobi	Klein	Lagrange	Laplace	Leibniz	Ramanujan
Lebesgue